Тема 1. Системи числення

Системи числення

Десять пальців рук — це перший пристрій для рахування, яким людина користується з доісторичних часів. Число 10 стало основою десяткової системи числення, алфавіт якої складається з десяти цифр: від 0 до 9.

У різні історичні періоди користувалися також і іншими системами числення. Наприклад, активно  застосовували дванадцяткову систему,  її походження пов'язують з рахунками на чотирьох вказівних пальцях руки, які мають 12 фаланг. До нашого часу ця система дійшла у словах «дюжина», «грос» — дюжина дюжин, «маса» — дюжина гросів, 1 фут = 12 дюймів, 1 шилінг = 12 пенсів. У Давньому Вавилоні діяла шістдесяткова система числення, яку ми використовуємо і сьогодні. Наприклад, 1 година = 60 хвилин, 1 хвилина = 60 секунд. Ще є змішані системи числення. Наприклад, 1 доба = 24 години, 1 година = 60 хвилин та ін. Деякі африканські народи користувались п'ятірковою системою числення, а ацтеки і майя — двадцятковою.

Система числення — це алфавіт системи та правила утворення чисел і дій з ними.

Системи числення є позиці­йними або непозиційними.

У позиційній системі значення цифри залежить від позиції, яку цифра займає в зображенні числа. У цілих числах позиції нумерують справа наліво, починаючи з нульової.

Наприклад, у числі 4321 остання цифра 1 перебуває у нульовій позиції й означає кількість одиниць; передостання цифра 2 стоїть у першій позиції й означає кількість десятків (у нашому випадку — це 2 десятки), 3- кількість сотень, 4- кількість тисяч. Отже, число 4321 можна записати у вигляді такої суми:

4321 = 4*1000 + 3*100 + 2*10 + 1 = 4*10^3+ 3*10^2 + 2*10^1 + 1*10^0

Щоб означити, що число належить саме до десяткової системи числення, пишуть (4321)₁₀. Число 10 є основою десяткової системи числення.

Розглянемо системи числення з основами, відмінними від 10.

Алфавіт системи числення з основою р складається з p цифр: 0, 1, 2,..., р-1. Інші цифри використовувати не можна. Найчастіше засто­совують системи числення з основами 2, 8, 10, 16.

Відомо, що у десятковій системі алфавіт складається з таких цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. У системі числення з основою р = 8 алфавіт такий: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

У двійковій системі числення р = 2 алфавіт системи складається з двох цифр: 0, 1. Приклади двійкових чисел:  (101)₂  ,  (110011)₂

У непозиційній системі числення значення цифри не залежить від пози­ції, в якій вона розташована у цьому числі.

Прикладом непозиційної системи численя є римська система. Її алфавіт такий: І — один, V — п'ять, X — десять, L — п'ятдесят, С — сто, D — п'ятсот, М — тисяча.

Римські числа, які позначають роки, можна побачити в титрax кінофільмів, на фасадах будинків, їх використовують для нумерації розділів чи частин у художніх книжках і підручниках, у годинниках.

Довільне число утворюють, комбінуючи цифри алфавіту. Щоб обчислити десяткове значення римського числа, потрібібно додати значення всіх римських цифр. Цифри в римському числі розміщені в порядку спадання їхніх значень. Однак, якщо менша цифра стоїть перед більшою, тоді від більшого числа віднімають менше. Перед більшою цифрою може бути тільки одна менша цифра. Допустимі такі комбінації:

IV=4, IX=9, XL=40, XC=90, CD=400, СМ=900.

Розглянемо римські числа й обчислимо їх десяткові значення:

XX    = 10 + 10 = 20;

LVIII = 50+ 5 + 1 + 1 + 1 = 58;

XCIV = 100 - 10 + 5 - 1 = 94;

XLIX = 40 + 9 =49 (не можна 49 записати IL, бо така комбінація неприпустима).

Завдання

Записати у римській системі такі десяткові числа:   253, 2015, 3709, 99, 1996.