Переведення дійсних чисел між системами з основами 2^k

Переведення дійсних чисел між системами з основами 2^k

Правила:

1. Щоб перевести число з вісімкової системи числення у двійкову, потрібно кожну вісімкову цифру замінити трьома двійковими (бо 8 = 2^3).

2. Щоб перевести число з шістнадцяткової системи числення у двійкову, потрібно кожну шістнадцяткову цифру замінити чотирма двійковими (бо 16 = 2^4).

3. Щоб перевести число з двійкової системи числення у вісімкову, потрібно кожні три двійкові цифри замінити однією вісімковою (бо  2^3 = 8).

4. Щоб перевести число з двійкової системи числення у шістнадцяткову, потрібно кожні чотири двійкові цифри замінити однією шістнадцятковою (бо 2^4 = 16).

1.  Перевести число 175,04 з вісімкової системи у двійкову:

                175,03₈ = 001 111 101,000 100₂ = 1111101,0001₂ - незначущі нулі можна упустити.

2. Перевести число  3D0B,20A з шістнадцяткової системи у двійкову:

     3A0D,20B = 0011 1011  0000 1101, 0010 0000 1010₂= 11101100001101,00100000 101₂

3. Перевести число 1100110011,00010001 з двійкової системи у вісімкову (від коми вліво    виділяємо по три двійкові цифри, аналогічно вправо, також додаємо незначущі нулі):

                1100110011,00010001₂ = 001 100 110 011,000 100 010₂ = 1463,042₈

4. Перевести число 1110011100111,0001110001 з двійкової системи у шістнадцяткову (від коми вліво виділяємо по чотири двійкові цифри, аналогічно вправо, також додаємо незначущі нулі):

     1110011100111,0001110001₂ = 0001 1100 1110 0111,0001 1100 0100₂ = 1СE7,1C4 у                                                                                                    шістнадцятковій системі

Завдання

1. Перевести число 304,506 з вісімкової системи у двійкову.

2. Перевести число A05C,B07 з шістнадцяткової системи у двійкову.

3. Перевести число 1111100000,11111000001 з двійкової системи у вісімкову та у   шістнадцяткову.

Переведення дійсних чисел із будь-якої системи у десяткову

Переведення дійсних чисел із будь-якої системи у десяткову

Число 1234,56 у десятковій системі можна розписати так:

1234,56 = 1*1000+2*100+3*10+4*1+5*0,1+6*0,01 =  

= 1*10^3+2*10^2+3*10^1+4*10^0+5*10^(-1)+6*10^(-2)

Аналогічно, число у вісімковій системі можна розписати так:

  (1234,56)₈ = 1*8^3 + 2*8^2 + 3*8^1 + 4*8^0 + 5*8^(-1) + 6*8^(-2) =

= 512 + 2*64 + 3*8 + 4*1 + 5*(1/8) + 6*(1/64) =

= 512+ 128 + 24 + 4 + 0,625 + 0,09375 =

= 668,71875 – це число у десятковій системі числення (отже, ми перевели дійсне число з вісімкової системи у десяткову).

Розглянемо формулу, яка описує правило переведення дійсних чисел із системи числення з основою р, зокрема двійкових (якщо р = 2), у числа десяткової системи:

(abc,de)_р = a*p^2 + b*p^1 + c*p^0 + d*p^(-1) + e*p^(-2)

            При переведенні чисел з вісімкової системи у десяткову ця формула набуде такого вигляду:

            (abc,de)₈ = a*8^2 + b*8^1 + c*8^0 + d*8 ^(-1) + e*8^(-2) – обчислити значення виразу, це значення є відповідним числом у десятковій системі.

Для переведення шістнадцяткового числа 2A0D,50F у десяткову систему запишемо такий вираз:

2A0D,50F = 2*16^3 + A*16^2 + 0*16^1 + D*16^0 + 5*16^(-1) + 0*16^(-2) + F*16^(-3) =

                  = 2*16^3 + 10*16^2 + 0*16^1 + 13*16^0 + 5*16^(-1) + 0*16^(-2) + 15*16^(-3) =

                  = 8192 + 2560 + 0 + 13 + 5/16 + 0 + 15/4096 =

                  = (наближено)10765 + 0,3125 + 0,0037 =

    = (наближено) 10765,3162 – це число у десятковій системі числення (отже, ми перевели дійсне число з шістнадцяткової системи у десяткову).

Завдання

1. Перевести число 302,4102

1. з п’ятіркової системи
2. з сімкової системи
3. з вісімкової системи

у десяткову систему числення.

2. Перевести число A05C,B07

1.      з тринадцяткової системи

2.      з п’ятнадцяткової системи

3.      з шістнадцяткової системи

у десяткову систему числення.

Переведення дробових чисел із десяткової системи в іншу

Переведення дробових чисел із десяткової системи в іншу

    Правило: Щоб перевести дробове число з десяткової системи в систему з основою р, потрібно:

1. записати його десятковим дробом,

2. перевести його цілу частину,  виконуючи послідовне ділення цього числа на число р,

3. перевести його дробову частину, виконуючи послідовне множення цього числа на число р,

4. записати результат з отриманих цілої та дробової частин.

Наприклад, перевести 9,3 з десяткової системи у двійкову:

           

     Переведемо цілу частину:

     

      9 |_2_                                                      

      8   4  |_2_             

      1   4    2  |_2_

           0    2    1

                 0

                      

Результат: 1001 у двійковій системі.

     Переведемо дробову частину:

    

      0,3 | *  2_  

        0  |  6   *2            зліва пишемо цілу частину, а справа - дробову

        1  |  2   *2            множимо на основу 2 тільки дробову частину (яка є справа)

        0  |  4   *2

        0  |  8   *2

        1  |  6    *2

        1  |  2    *2          отримуємо період

        0  |  4    *2

        0  |  8    *2

        1  |  6   

Результат (послідовність цифр зліва від верхнього до нижнього):  …,0(1001) у двійковій системі.

Отже, загальний результат: 1001, 0(1001) у двійковій системі (9,3 у десятковій).

Може бути випадок, коли у правій частині отримали 0 , тоді матимемо точний результат.

Наприклад, переведемо 0,5 з десяткової системи у двійкову систему.

            0,5 | *  2_  

              1  |  0 *2

              0  |  0            

Результат :  0,1 у двійковій системі (0,5 у десятковій).

 

   Завдання

Перевести число 27,4  у  2, 3, 5, 7, 8, 12, 15-ову системи числення.

    

Переведення цілих чисел із десяткової системи в іншу

Переведення цілих чисел із десяткової системи в іншу

Будь-яке десяткове число можна записати в іншій системі числення, наприклад, у вісімковій, двійковій та інших.

Правило. Щоб перевести ціле число з десяткової системи в систему з основою р, треба виконати послідовне ділення цього числа на число р за таким алгоритмом:

1. Число поділити на р.

2.  Визначити остачу і частку.

3.  Якщо частка менша за р, то виконати пункт 6, якщо ні, то виконати пункт 4.

4. Розглянути частку як нове число.

5.  Виконати пункти 1, 2, 3.

6.  Прочитати результат - це послідовність цифр, що складається з останньої частки та всіх остач, починаючи від останньої.

Наприклад, перевести (125)₁₀ у вісімкову систему:

            125 |_8_                                 15 |_8_                                  

            120   15  - частка                   8     1 – остання частка

               5 – остача                           7 – остання остача

           

Результат: 175 у вісімковій системі.

Ділення рекомендують виконувати так:

125 |_8_                                                        

            120   15  |_8_             

                5     8     1 – остання частка

                       7 - остання остача

У роботі з  ПК активно використовується шістнадцяткова система числення (наприклад, для кодування адрес комірок оперативної пам'яті комп'ютера, задання кольорів, ...). Алфавіт системи складається із шістнадцяти символів:

 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F,  де А = 10, В = 11, С = 12, D = 13, Е = 14, F = 15.

Наприклад, перевести число (125)₁₀ у шістнадцяткову систему числення: (125)₁₀ = ( ? )₁₆.

125 |_16_                                                      

            112    7           

              13                           

Результат: 7D у шістнадцятковій системі (13 - це цифра D) .

Завдання

Перевести число

1. 333
2. 444
3. 555
4. 666

у 2, 3, 5, 7, 8, 12, 16-ову системи числення.