Тема 5.Переведення дійсних чисел між системами з основами 2^k

Переведення дійсних чисел між системами з основами 2^k

Правила:

1. Щоб перевести число з вісімкової системи числення у двійкову, потрібно кожну вісімкову цифру замінити трьома двійковими (бо 8 = 2^3).

2. Щоб перевести число з шістнадцяткової системи числення у двійкову, потрібно кожну шістнадцяткову цифру замінити чотирма двійковими (бо 16 = 2^4).

3. Щоб перевести число з двійкової системи числення у вісімкову, потрібно кожні три двійкові цифри замінити однією вісімковою (бо  2^3 = 8).

4. Щоб перевести число з двійкової системи числення у шістнадцяткову, потрібно кожні чотири двійкові цифри замінити однією шістнадцятковою (бо 2^4 = 16).

1.  Перевести число 175,04 з вісімкової системи у двійкову:

                175,03₈ = 001 111 101,000 100₂ = 1111101,0001₂ - незначущі нулі можна упустити.

2. Перевести число  3D0B,20A з шістнадцяткової системи у двійкову:

     3A0D,20B = 0011 1011  0000 1101, 0010 0000 1010₂= 11101100001101,00100000 101₂

3. Перевести число 1100110011,00010001 з двійкової системи у вісімкову (від коми вліво    виділяємо по три двійкові цифри, аналогічно вправо, також додаємо незначущі нулі):

                1100110011,00010001₂ = 001 100 110 011,000 100 010₂ = 1463,042₈

4. Перевести число 1110011100111,0001110001 з двійкової системи у шістнадцяткову (від коми вліво виділяємо по чотири двійкові цифри, аналогічно вправо, також додаємо незначущі нулі):

     1110011100111,0001110001₂ = 0001 1100 1110 0111,0001 1100 0100₂ = 1СE7,1C4 у                                                                                                    шістнадцятковій системі

Завдання

1. Перевести число 304,506 з вісімкової системи у двійкову.

2. Перевести число A05C,B07 з шістнадцяткової системи у двійкову.

3. Перевести число 1111100000,11111000001 з двійкової системи у вісімкову та у   шістнадцяткову.

Тема 4.Переведення дійсних чисел із будь-якої системи у десяткову

Переведення дійсних чисел із будь-якої системи у десяткову

Число 1234,56 у десятковій системі можна розписати так:

1234,56 = 1*1000+2*100+3*10+4*1+5*0,1+6*0,01 =  

= 1*10^3+2*10^2+3*10^1+4*10^0+5*10^(-1)+6*10^(-2)

Аналогічно, число у вісімковій системі можна розписати так:

  (1234,56)₈ = 1*8^3 + 2*8^2 + 3*8^1 + 4*8^0 + 5*8^(-1) + 6*8^(-2) =

= 512 + 2*64 + 3*8 + 4*1 + 5*(1/8) + 6*(1/64) =

= 512+ 128 + 24 + 4 + 0,625 + 0,09375 =

= 668,71875 – це число у десятковій системі числення (отже, ми перевели дійсне число з вісімкової системи у десяткову).

Розглянемо формулу, яка описує правило переведення дійсних чисел із системи числення з основою р, зокрема двійкових (якщо р = 2), у числа десяткової системи:

(abc,de)_р = a*p^2 + b*p^1 + c*p^0 + d*p^(-1) + e*p^(-2)

            При переведенні чисел з вісімкової системи у десяткову ця формула набуде такого вигляду:

            (abc,de)₈ = a*8^2 + b*8^1 + c*8^0 + d*8 ^(-1) + e*8^(-2) – обчислити значення виразу, це значення є відповідним числом у десятковій системі.

Для переведення шістнадцяткового числа 2A0D,50F у десяткову систему запишемо такий вираз:

2A0D,50F = 2*16^3 + A*16^2 + 0*16^1 + D*16^0 + 5*16^(-1) + 0*16^(-2) + F*16^(-3) =

                  = 2*16^3 + 10*16^2 + 0*16^1 + 13*16^0 + 5*16^(-1) + 0*16^(-2) + 15*16^(-3) =

                  = 8192 + 2560 + 0 + 13 + 5/16 + 0 + 15/4096 =

                  = (наближено)10765 + 0,3125 + 0,0037 =

    = (наближено) 10765,3162 – це число у десятковій системі числення (отже, ми перевели дійсне число з шістнадцяткової системи у десяткову).

Завдання

1. Перевести число 302,4102

1. з п’ятіркової системи
2. з сімкової системи
3. з вісімкової системи

у десяткову систему числення.

2. Перевести число A05C,B07

1.      з тринадцяткової системи

2.      з п’ятнадцяткової системи

3.      з шістнадцяткової системи

у десяткову систему числення.

Тема 3.Переведення дробових чисел із десяткової системи в іншу

Переведення дробових чисел із десяткової системи в іншу

    Правило: Щоб перевести дробове число з десяткової системи в систему з основою р, потрібно:

1. записати його десятковим дробом,

2. перевести його цілу частину,  виконуючи послідовне ділення цього числа на число р,

3. перевести його дробову частину, виконуючи послідовне множення цього числа на число р,

4. записати результат з отриманих цілої та дробової частин.

Наприклад, перевести 9,3 з десяткової системи у двійкову:

           

     Переведемо цілу частину:

     

      9 |_2_                                                      

      8   4  |_2_             

      1   4    2  |_2_

           0    2    1

                 0

                      

Результат: 1001 у двійковій системі.

     Переведемо дробову частину:

    

      0,3 | *  2_  

        0  |  6   *2            зліва пишемо цілу частину, а справа - дробову

        1  |  2   *2            множимо на основу 2 тільки дробову частину (яка є справа)

        0  |  4   *2

        0  |  8   *2

        1  |  6    *2

        1  |  2    *2          отримуємо період

        0  |  4    *2

        0  |  8    *2

        1  |  6   

Результат (послідовність цифр зліва від верхнього до нижнього):  …,0(1001) у двійковій системі.

Отже, загальний результат: 1001, 0(1001) у двійковій системі (9,3 у десятковій).

Може бути випадок, коли у правій частині отримали 0 , тоді матимемо точний результат.

Наприклад, переведемо 0,5 з десяткової системи у двійкову систему.

            0,5 | *  2_  

              1  |  0 *2

              0  |  0            

Результат :  0,1 у двійковій системі (0,5 у десятковій).

 

   Завдання

Перевести число 27,4  у  2, 3, 5, 7, 8, 12, 15-ову системи числення.

Таблиця співвідношень між системами з основами 2^k

Таблиця співвідношень між системами числення з основами 2^k

10 - а система	16 - а система	2 - а система
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16	1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10	1      10      11    100    101    110    111  1000  1001  1010  1011  1100   1101   1110   1111 10000

Тема 2. Переведення цілих чисел із десяткової системи в іншу

Переведення цілих чисел із десяткової системи в іншу

Будь-яке десяткове число можна записати в іншій системі числення, наприклад, у вісімковій, двійковій та інших.

Правило. Щоб перевести ціле число з десяткової системи в систему з основою р, треба виконати послідовне ділення цього числа на число р за таким алгоритмом:

1. Число поділити на р.

2.  Визначити остачу і частку.

3.  Якщо частка менша за р, то виконати пункт 6, якщо ні, то виконати пункт 4.

4. Розглянути частку як нове число.

5.  Виконати пункти 1, 2, 3.

6.  Прочитати результат - це послідовність цифр, що складається з останньої частки та всіх остач, починаючи від останньої.

Наприклад, перевести (125)₁₀ у вісімкову систему:

            125 |_8_                                 15 |_8_                                  

            120   15  - частка                   8     1 – остання частка

               5 – остача                           7 – остання остача

           

Результат: 175 у вісімковій системі.

Ділення рекомендують виконувати так:

125 |_8_                                                        

            120   15  |_8_             

                5     8     1 – остання частка

                       7 - остання остача

У роботі з  ПК активно використовується шістнадцяткова система числення (наприклад, для кодування адрес комірок оперативної пам'яті комп'ютера, задання кольорів, ...). Алфавіт системи складається із шістнадцяти символів:

 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F,  де А = 10, В = 11, С = 12, D = 13, Е = 14, F = 15.

Наприклад, перевести число (125)₁₀ у шістнадцяткову систему числення: (125)₁₀ = ( ? )₁₆.

125 |_16_                                                      

            112    7           

              13                           

Результат: 7D у шістнадцятковій системі (13 - це цифра D) .

Завдання

Перевести число

1. 333
2. 444
3. 555
4. 666

у 2, 3, 5, 7, 8, 12, 16-ову системи числення.

Тема 1. Системи числення

Системи числення

Десять пальців рук — це перший пристрій для рахування, яким людина користується з доісторичних часів. Число 10 стало основою десяткової системи числення, алфавіт якої складається з десяти цифр: від 0 до 9.

У різні історичні періоди користувалися також і іншими системами числення. Наприклад, активно  застосовували дванадцяткову систему,  її походження пов'язують з рахунками на чотирьох вказівних пальцях руки, які мають 12 фаланг. До нашого часу ця система дійшла у словах «дюжина», «грос» — дюжина дюжин, «маса» — дюжина гросів, 1 фут = 12 дюймів, 1 шилінг = 12 пенсів. У Давньому Вавилоні діяла шістдесяткова система числення, яку ми використовуємо і сьогодні. Наприклад, 1 година = 60 хвилин, 1 хвилина = 60 секунд. Ще є змішані системи числення. Наприклад, 1 доба = 24 години, 1 година = 60 хвилин та ін. Деякі африканські народи користувались п'ятірковою системою числення, а ацтеки і майя — двадцятковою.

Система числення — це алфавіт системи та правила утворення чисел і дій з ними.

Системи числення є позиці­йними або непозиційними.

У позиційній системі значення цифри залежить від позиції, яку цифра займає в зображенні числа. У цілих числах позиції нумерують справа наліво, починаючи з нульової.

Наприклад, у числі 4321 остання цифра 1 перебуває у нульовій позиції й означає кількість одиниць; передостання цифра 2 стоїть у першій позиції й означає кількість десятків (у нашому випадку — це 2 десятки), 3- кількість сотень, 4- кількість тисяч. Отже, число 4321 можна записати у вигляді такої суми:

4321 = 4*1000 + 3*100 + 2*10 + 1 = 4*10^3+ 3*10^2 + 2*10^1 + 1*10^0

Щоб означити, що число належить саме до десяткової системи числення, пишуть (4321)₁₀. Число 10 є основою десяткової системи числення.

Розглянемо системи числення з основами, відмінними від 10.

Алфавіт системи числення з основою р складається з p цифр: 0, 1, 2,..., р-1. Інші цифри використовувати не можна. Найчастіше засто­совують системи числення з основами 2, 8, 10, 16.

Відомо, що у десятковій системі алфавіт складається з таких цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. У системі числення з основою р = 8 алфавіт такий: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

У двійковій системі числення р = 2 алфавіт системи складається з двох цифр: 0, 1. Приклади двійкових чисел:  (101)₂  ,  (110011)₂

У непозиційній системі числення значення цифри не залежить від пози­ції, в якій вона розташована у цьому числі.

Прикладом непозиційної системи численя є римська система. Її алфавіт такий: І — один, V — п'ять, X — десять, L — п'ятдесят, С — сто, D — п'ятсот, М — тисяча.

Римські числа, які позначають роки, можна побачити в титрax кінофільмів, на фасадах будинків, їх використовують для нумерації розділів чи частин у художніх книжках і підручниках, у годинниках.

Довільне число утворюють, комбінуючи цифри алфавіту. Щоб обчислити десяткове значення римського числа, потрібібно додати значення всіх римських цифр. Цифри в римському числі розміщені в порядку спадання їхніх значень. Однак, якщо менша цифра стоїть перед більшою, тоді від більшого числа віднімають менше. Перед більшою цифрою може бути тільки одна менша цифра. Допустимі такі комбінації:

IV=4, IX=9, XL=40, XC=90, CD=400, СМ=900.

Розглянемо римські числа й обчислимо їх десяткові значення:

XX    = 10 + 10 = 20;

LVIII = 50+ 5 + 1 + 1 + 1 = 58;

XCIV = 100 - 10 + 5 - 1 = 94;

XLIX = 40 + 9 =49 (не можна 49 записати IL, бо така комбінація неприпустима).

Завдання

Записати у римській системі такі десяткові числа:   253, 2015, 3709, 99, 1996.

Теми для Word

Теми творів для роботи з Word

(твір з 12 - 15 речень написати в зошиті)

	1 група (від початку списку класу )  - вибираємо тему  по номеру комп'ютера
1.	Є такі друзі, як повітря – їх не видно, але вони завжди з тобою.
2.	Якщо у сусіда трава зеленіша, значить, ти погано поливаєш свій газон.
3.	Зберігайте віру у себе, навіть якщо ніхто у вас не вірить.
4.	Працюй над собою. Ніхто не стає хорошою людиною випадково.
5.	Найкращий подарунок – люди, яким ми говоримо: «Дякую, що ти є!»
6.	У світі достатньо судей. А друг є для того, щоб тебе прийняти.
7.	Добрі слова короткі, вимовити їх легко, але їх луна продовжує звучати у вічності.
8.	Вдячність – борг, який потрібно оплатити, але якого ніхто на сміє очікувати.
9.	Дозволь собі бути собою, а іншим – бути іншими.
10.	Навіть тисяча причина для сварки не зможуть переважити однієї причини для примирення.
11.	Життя не в тому, щоб перечекати шторм. Воно у тому, щоб вчитися танцювати під дощем.
12.	Те, що вчора видавалося неможливим, нині може виявитися реальністю.
13.	Друзі пізнаються в біді. І чим більша біда, тим точнішим є сортування.
14.	Часом вистачає одного слова, щоб зруйнувати будь-які стіни.
15.	Не важливо, скільки у тебе друзів. Важливо, чи допоможуть вони у важкій ситуації.
16.	Найбідніша людина – не та, у кого немає ні копійки у кишенях, а та, у кого немає мрії!
17.	Невдах не існує. Є тільки люди, які занадто швидко здаються.
18.	Друг – це той, який входить у наші двері, коли весь світ виходить через них.
	2 група (нижня частина списку класу )  - вибираємо тему  по номеру комп'ютера
1.	Руйнуючи стереотипи, ми пізнаємо нове.
2.	Ніяке прикидання не допоможе приховати любов, коли вона є, чи зобразити її – коли її нема.
3.	Найдорожчих людей ми носимо постійно із собою. В думках, у музиці, у серці…
4.	Щоб осявати світлом інших, треба носити сонце у собі.
5.	Будуй мости замість того, щоб будувати стіни, і ти не будеш самотнім.
6.	Труднощі породжують в людині здібності, необхідні для їх подолання.
7.	Любити – значить бачити диво… невидиме для інших.
8.	Будь собою, всі інші ролі вже заняті.
9.	Якщо в інших не вдалося, це ще не означає, що тобі не варто спробувати.
10.	Світ навколо нас тим яскравіший, чим сильніше сяяння нашого серця!
11.	Покажіть мені людину, яка ніколи не помилялася, і я побачу людину, яка нічого не досягла.
12.	Знайти себе у житті – це всього лише знайти серце у своїх справах.
13.	Бути занятим – легко, важче бути результативним
14.	Єдиною перешкодою для досягнення наших цілей є наші сумніви.
15.	Коли приходить вітер змін, будуй не щит від вітру, а вітряний млин.
16.	Іноді  ті, від кого ми очікуємо гіршого, простягають нам руку допомоги у найважчий момент.
17.	Людина – це душа в оболонці. Як і в книзі, обкладинка часом обманлива, важливий зміст.
18.	Нема недосяжних цілей.  Є цілі, до яких ведуть невідомі нам шляхи.
12.	Мені не потрібні крила щоб літати. Мені потрібні люди, які не дадуть впасти.
13.	Щира дружба так само потрібна людині, як і справжнє кохання
14.	Музика, подібно до дощу, крапля за краплею просочується у серце й оживляє його.
15.	Музика – це сліди, по яких можна повернутися в різні етапи життя
16.	Мозок – Всесвіт. Все ще думаєш, що ти всього-на всього піщинка?
17.	Якщо мрієш про райдугу, будь готовий потрапити під дощ.
18.	Гарний критерій для вимірювання успіху – кількість людей, яких ти зробив щасливими

Якщо зовсім немає ідей по Вашій темі, то виберіть тему зі списку :

• Залишай все трохи кращим, ніж було до тебе.
• Часто без підтримки близьких і рідних людей навіть сильний падає духом.
• Якщо у людини є шанс стати твоїм другом, не дозволяй йому перетворитися у ворога.
• Друзі не зобов’язані бути досконалістю. Досить того, що у важку годину вони поруч.
• Справжній друг – той, хто говорить добре про тебе за твоєю спиною.
• Щастя – це те, що можна дати іншому, не забираючи нічого у